Critère de Kelly
À la cote 2,00 avec une probabilité estimée à 55 %, le critère de Kelly donne 10 % du capital — et le demi-Kelly 5 %. Cette page explique d'où vient ce nombre, et surtout pourquoi le plein est rarement le bon choix quand la probabilité est estimée plutôt que connue.
Kelly plein
10,00 %
Le plein suppose que votre probabilité est JUSTE. Elle est estimée : c'est pourquoi le demi et le quart sont affichés à côté, et non en note de bas de page.
- Demi-Kelly
- 5,00 %
- Quart de Kelly
- 2,50 %
- Mise correspondante (Kelly plein)
- 100,00 unités
- Mise correspondante (demi-Kelly)
- 50,00 unités
- Espérance par unité misée
- 0,1000 unités
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La formule, et ce qu'elle maximise
- Critère de Kelly
f* = (b × p − q) ÷ b, avec b = cote − 1 et q = 1 − p - Forme équivalente
f* = espérance ÷ (cote − 1) - Ce qui est maximisé
g = p × ln(1 + f × b) + q × ln(1 − f)
Les deux premières lignes sont la même chose. En développant (b × p − q) ÷ b on retrouve (p × cote − 1) ÷ (cote − 1), c'est-à-dire l'espérance de gain ramenée au gain net par unité misée. Kelly n'est donc pas une formule de plus : c'est l'espérance, exprimée en part de capital.
À la cote 2,00 avec 55 % estimés, b vaut 1 et l'espérance vaut 0,10 : la fraction est de 10 %, le demi-Kelly de 5 % et le quart de 2,5 %. À la cote 1,85 avec 60 % estimés, elle monte à 12,94 %.
La troisième ligne est celle qu'on cite le moins et qui justifie tout le reste. Kelly ne maximise ni le gain moyen ni la probabilité de gagner : il maximise le taux de croissance logarithmique du capital. C'est une quantité qui a un maximum, et donc un au-delà. Miser 15 % au lieu des 10 % de l'exemple fait déjà baisser cette croissance ; à 20 %, elle est passée sous zéro — le capital décroît en moyenne, avec pourtant le même avantage réel.
Le critère porte le nom de J. L. Kelly Jr., qui l'a publié en 1956 dans un article des Bell System Technical Journal consacré au débit d'un canal de transmission — pas aux paris. La formule est une conséquence mathématique de la maximisation du logarithme du capital ; les valeurs de cette page sont recalculées, pas recopiées.
Pourquoi le Kelly plein est rarement raisonnable
- Il suppose que la probabilité est connue. Elle est estimée. C'est la limite qui contient toutes les autres. La formule est optimale pour le
pqu'on lui donne ; si votre estimation est trop optimiste de quelques points, la fraction calculée dépasse l'optimum réel, et la croissance espérée en souffre immédiatement. - L'erreur n'est pas symétrique. Miser moins que Kelly coûte un peu de croissance ; miser nettement plus peut la rendre négative. À la cote 2,00 avec 55 % estimés, le critère donne 10 % : à 15 % la croissance est déjà plus faible qu'à 10 %, et à 20 % elle est passée sous zéro. C'est la raison pour laquelle le demi et le quart sont affichés à côté du plein, et non en bas de page.
- Il ignore ce que vous pouvez supporter. Une fraction optimale au sens mathématique peut produire des reculs de capital que personne ne tient dans la durée. L'optimum de la formule et l'optimum de la personne qui l'applique ne sont pas le même nombre.
- Il suppose un pari à la fois, et des paris indépendants. Plusieurs positions simultanées, ou corrélées entre elles, changent le problème — la version multi-paris n'est pas celle-ci.
- Zéro veut dire zéro. Quand l'espérance est négative, cet outil affiche 0 et non une valeur négative. La formule, elle, dirait de prendre l'autre côté du pari : ce serait un conseil de pari, et ce site n'en donne pas.
L'application
Ici la fraction, dans l'app le capital qui bouge.
Le site calcule une fraction à un instant donné. L'application recalcule la mise à mesure que le capital évolue, et garde la trace de vos estimations pour que vous puissiez les confronter aux résultats.